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programmes_ue_l2:algebre_lineaire_bilineaire:2018_19

Algèbre linéaire et bilinéaire. Année 2018/19

Cours . Lundi après-midi 14h-16h
Chargé de cours. Xavier Roblot

Travaux dirigés. Vendredi matin 9h45-13h
Chargés de travaux dirigés. Kenji Iohara (Groupe A) Abdellatif Agouzal (Groupe B)

Début des TD. Vendredi 1er février

Dates des CC.
CC1. Vendredi 1 mars (Amphi Thémis 7 - 10h-12h) – Sujet
CC2. Vendredi 29 mars (Amphi Thémis 7 - 10h-12h) – Sujet
CC3. Lundi 29 avril (Amphi Thémis 7 - 14h-16h) – Sujet

Programme.
Algèbre linéaire Rappels sur les espaces vectoriels et les matrices. Déterminant et trace. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal. Diagonalisation des matrices. Puissances d'une matrice, exponentielle de matrices.
Algèbre bilinéaire Formes bilinéaires, formes quadratiques, réduction de Gauss, signature, théorème de Sylvester. Produit scalaire, Espaces vectoriels euclidiens. Réduction des matrices symétriques réelles.

Avancée du cours. (notes)
1er cours (25/01). Chapitre 1. Rappels sur les espaces vectoriels : espace vectoriel, sous-espace vectoriel ; famille libre, famille génératrice, base, dimension ; application linéaire, noyau et image d'une application linéaire, théorème du rang ; forme linéaire ; somme directe. Rappels sur les matrices : définition ; matrice diagonale, matrice triangulaire, matrice symétrique, matrice anti-symétrique.
2e cours (28/01). Produit de matrices, matrices nilpotentes, matrices inversibles, matrices semblables, matrices équivalentes ; image, noyau et rang d'une matrice ; systèmes d'équations linéaires homogènes ; matrice d'une application linéaire ; matrice de passage ; trace d'une matrice. Déterminant d'une matrice : définition par récurrence.
3e cours (04/02). Déterminant des matrices triangulaires et diagonales ; déterminant d'une famille de vecteurs ; premières propriétés du déterminant ; déterminants et bases ; multiplicativité du déterminant, caractérisation des matrices inversibles ; méthodes de calcul du déterminant ; déterminant d'un endomorphisme. Valeurs propres et vecteurs propres.
4e cours (11/02). Rappels sur les polynômes : degré, coefficient dominant, division euclidienne, PGCD, racine et multiplicité, polynôme scindé ; polynôme caractéristique et valeurs propres ; polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton ; valeurs propres d'un endomorphisme. Diagonalisation.
5e cours (25/02). Problème de la diagonalisation ; caractérisation des matrices diagonalisables ; méthode de diagonalisation. Applications de la diagonalisation.
6e cours (04/03). Chapitre 2. Formes bilinéaires : définitions, forme matricielle ; formes bilinéaires symétriques, alternées ; noyau et rang d'un forme bilinéaire. Orthogonalité.
7e cours (11/03). Orthogonal d'un sous-espace vectoriel. Formes quadratiques : définition, forme polaire et matrice d'une forme quadratique.
8e cours (18/03). Noyau et rang d'une forme quadratique. Forme quadratique non dégénérée. Vecteur isotrope et cône isotrope d'une forme quadratique. Réduction des formes quadratiques. Base duales et contraduales. Formulations du problème de la réduction des formes quadratiques. Preuve de l'existence des bases orthogonales.
9e cours (25/03). Réduction de Gauss. Classification des formes quadratiques sur C.
10e cours (01/04). Formes quadratiques réelles : signature, formes positives et négatives, formes définies. Espaces euclidiens. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Produit scalaire et norme d'un espace euclidien. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt.
11e cours (08/04). Matrices orthogonales. Adjoint d'un endomorphisme. Endomorphismes auto-adjoints et orthogonaux. Diagonalisation des endomorphismes symétriques.

Fiches de TD.
Fiche 1.
Fiche 2.
Fiche 3.
Fiche 4.
Fiche 5.
Fiche 6.

programmes_ue_l2/algebre_lineaire_bilineaire/2018_19.txt · Dernière modification: 2019/05/01 11:06 par roblot