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Topologie et théorie de la mesure. Automne 2020

Automne 2020

avancement_du_cm_2020-2021.pdf

Contrôles continus

Contrôle continu 1:

  • Contrôle continu 1: mercredi le 21 octobre 2020 dans les salles prévues pour les TD de 14H à 15H30. Programme des exercices sur tous les TD jusqu'au 14 octobre 2020 (y compris) et programme des questions du cours dans les deux listes suivantes:
  • Définitions à réviser:

1.1 (dénombrable), 1.5 (limite supérieure), 2.1 (distance), 2.4(espace normé), 2.16 (normes équivalentes), 2.26 (ouverts), 2.35 (espace topologique), 2.36 et 2.38 (intérieur et adhérence d’un ensemble), 3.16 (convergence uniforme), 4.2 (compacité), 4.17 (homéomorphisme), 5.2 (clan), 5.5(tribu), 5.11(classe monotone), 5.12 (mesure), 5.22 (tribu borélienne), 5.29 (application mesurable/borélienne), 5.45 (fonction étagée), 5.59 (ensemble négligeable), 6.1 (intégrale d'une fonction étagée positive), 6.3 (intégrale d'une fonction borélienne positive).

  • Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

2.19 (suites par rapport aux distances équivalentes) 2.30 (critère pour qu’un ensemble d’un espace métrique soit ouvert) 2.33 (unions/intersections des ouvert/fermés) 3.7 et 3.8 (fonctions continues) 4.3 (critère de compacité) 4.5 (produit direct des espaces métriques compacts) 4.7 (sous-ensemble compact d’un espace métrique) 4.8 (sous-ensemble fermé d’un espace métrique compact) 4.9 (fonctions continues sur un espace métrique compact) 4.13 (théorème de Heine) 4.14 (équivalence de normes sur un espace vectoriel de dimension finie sur les réels) 5.13 (propriétés de base des mesures), 5.15(Thm définissant la tribu engendrée), 5.25 (famille génératrice usuelle des boréliens de \R^n), 5.28 (Proposition définissant la tribu engendrée par f), 5.33 (mesurabilité en terme de famille génératrice), 5.39 et 5.44 (en pair, relation de la mesurabilité aux limites), 5.50 (Thm de classe monotone), 5.51 (corollaire du Thm de classe monotone sur les mesures), 5.53 (Thm de prolongement pour les mesures), 5.55 (Thm définissant la mesure de Lebesgue).

CC1 Sujet

correction_cc_du_21.10.2020.pdf

Contrôle continu 2:

  • Contrôle continu 2: le mercredi 9 décembre de 9h45 à 11h15 en amphithéâtre GOUY.

(L'après-midi, TD en visio à partir de 14h). Programme des exercices: les fiches TD 4, 5, 6 et la partie de 7 discutée pendant les TD du 2 décembre. Programme des questions du cours dans les deux listes suivantes:

  • Définitions à réviser:

6.1 (intégrale d’une fonction étagée, positive et borélienne), 6.3 (intégrale d’une fonction borélienne et positive), 6.10 (fonction mu-intégrable et son intégrale), 7.2 (ensemble convexe), 7.8 (fonction convexe), 8.10 (la tribu produit), 8.20 (la mesure image)

  • Théorèmes, propositions, corollaires à réviser:

6.8 (Lemme de Fatou), 6.13 (relation de l'intégrabilité aux limites), 6.14 (Thm de convergence dominée de Lebesgue), 6.17 (Thm sur la relation entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue), 7.13 (inégalité des pentes), 7.14 (caractérisation différentielle de la convexité), 7.21 (critère de minimum global du 1er ordre), 7.22 (Théorème de projection sur un convexe fermé de \R^n), 7.24 (inégalité de Jensen), 7.32 (inégalité de Hölder), 8.3 (théorème de continuité avec condition de domination), 8.7 (théorème de dérivabilité avec condition de domination), 8.12 (théorème définissant la mesure produit), 8.13 (théorème de Fubini-Tonelli), 8.15 (théorème de Fubini), 8.21 (le théorème de transfert), 8.28 et 8.36 (les théorèmes de changement de variables)

CC2 Sujet correction CC2

Examen terminal:

  • Examen terminal: le mercredi 6 janvier de 8h00 à 10h00 en amphithéâtre Caullery. Programme des exercices sur tous les TDs et programme des questions de cours sur les listes ci-dessus de CC1 et CC2 et sur les deux listes complémentaires ci-dessous:
  • Définitions à réviser:

9.1 (majorant essentiel), 10.15 (suite de Cauchy d'un espace métrique), 10.18 (espace métrique complet), 10.27 (espace de Hilbert), 10.41 (base hilbertienne).

  • Théorèmes, propositions, corollaires à réviser:

9.5 (inégalité de Minkowski), 9.9 (relation entre les normes \| . |\_p), 9.12 (théorème de Riesz-Fischer), 10.3 (identité de la polarisation), 10.4 (identité du parallélogramme), 10.5 (inégalité de Cauchy-Schwarz), 10.33 (théorème de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert), 10.36 (théorème de projection sur un sous-espace vectoriel d'un espace de Hilbert), 10.51 (inégalité de Bessel).


Archives

Années précédentes :

Automne 2019.

Automne 2018.

Exercices corrigés (par Maria Carrizosa) de Topologie et théorie de la mesure: (9 fiches de TD. Année 2018/19)

programmes_ue_l3/topologie-mesure/2020_21.txt · Dernière modification: 2020/12/20 15:09 par tomanov